Formules de duplication
Pour tout
\(a \in \mathbb{R}\)
,
\(\cos(2a) =\cos^2(a)-\sin^2(a)=2\cos^2(a)-1 =1-2\sin^2(a)\)
et
\(\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)\)
.
Démonstration
Soit
\(a \in \mathbb{R}\)
, on a
\(\cos(2a)=\cos(a+a)=\cos(a)\cos(a)-\sin(a)\sin(a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)\)
et
\(\sin(2a)=\sin(a+a)=\sin(a)\cos(a)+\cos(a)\sin(a) =2\sin(a)\cos(a)\)
.
De plus, o
n a :
\(\cos^2(a)+\sin^2(a)=1\)
, donc
\(\sin^2(a)=1-\cos^2(a)\)
,
donc
\(\cos(2a)= \cos^2(a) - (1-\cos^2(a))= 2\cos^2(a)-1\)
.
Et comme
\(\cos^2(a) =1- \sin^2(a)\)
, on a aussi :
\(\cos(2a)= (1-\sin^2(a)) - \sin^2(a)= 1-2\sin^2(a)\)
.
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